以下是在前公司实施过的一个案例，应用了傅里叶变换方法，不太复杂，希望有点帮助。
对于前端的产品，无论是APP、小程序、PC端网页等等，对用户的留存分析都是非常重要的一环。留存分析提供的是，“回头客”的行为模式细节情况。
用户留存，本身涉及用户的两次行为（初始行为与回流行为），且两次行为需要符合一定的时间间隔。那至少就有两个衍生的问题：
- 对于某个功能/产品，究竟应该关注“日留存”、“周（7天）留存”、“月留存”还是更长时间间隔的留存？
- 使用此功能/产品的用户，在使用间隔T（其倒数即为使用频率F）上究竟有哪些模式，是只有一种还是多种？
解决什么问题
所以，我们希望解决的是：通过分析用户使用某个功能/产品的时间间隔T及频率F的模式，实现两个目的：
- 为产品挑选一个核心留存KPI – 可能是日留存、周留存、月留存等等，之一；
- 通过了解用户使用产品的频率模式，制定差异化的运营策略；
什么是傅里叶变换
傅里叶变换，将原始信号，从时域信号变换为频域信号，以便理解信号的组成。
如下图所示，一个观察到的原始信号，实际是由多个不同频率的信号叠加而成的，而通过傅里叶变换，可以将这个原始信号拆解开，分解还原为这些不同频率的信号，而且可以通过信号强度，判断哪些频率的信号，是比较强的信号。
傅里叶变换原理示意图
怎样应用
更直观理解，如下图是针对某APP的饭票功能，它的过去3个月用户使用间隔天数的统计分布图（横轴为间隔天数，纵轴为统计人数）。原始数据，当然是功能/产品的行为埋点数据，通过汇总统计得出此分布图。
从这个图上，你能直接看出用户使用的时间间隔的模式么？7天的模式是显而易见的，但是否还有其他模式呢？这就需要使用傅里叶变换。
将分布图数据作为快速傅里叶变换的离散信号输入，则得出不同频率的信号强度：
将频率取倒数则得到时间间隔T，也就是可以知道，用户使用该APP的饭票功能，会以哪几种时间间隔来使用，也就可以以此为依据将用户进行分群差异化运营：
1. 图中说明最强的是7天时间间隔的模式，也就是相当多一部分用户是每周回流此功能的(可能是每周活动导致，可以结合实际情况确认)；
2. 由此可以认为本功能，目前是每周使用的频率为主，结合业务定位及产品背景，将“周留存”设为本功能的留存关键指标；
3. 使用间隔7天左右的用户，可以认为是本饭票功能相对忠实高频的用户，通过定向任务促使其至少能保持当前的使用频次；
4. 使用间隔大于14天的用户，可以认为是本饭票功能较低频的用户，可以通过定向投放高价值券促使其提升使用频次，以进一步提升功能的周留存指标；
5. 使用间隔在2、3天，从图中也能看出是很强的模式，用户人数占比较多，三天两头就过来使用本功能的用户，绝对是高度忠诚的高频用户了，对于这些用户可以着力在提升其价值贡献（消费更多）或提升其尊贵体验等，而非再进一步让其提升使用频率。
拓展应用
以上就是傅里叶变换应用于APP功能使用频率的分析，目的是希望了解并提升APP某个功能模块的留存能力，广泛适用于各种业务场景。通过发现用户的不同使用周期模式，我们可以将用户划分为几类，并对应打上大数据标签，结合其他画像类、业务类、行为类标签，可以作更进一步的精细化运营策略设计。
本文为@运营喵原创，运营喵专栏作者
